Modelo Médio Em Mudança Da Ordem 1

2.1 Modelos médios em movimento (modelos MA) Os modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e os termos médios em movimento. Na semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor remanescente de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos médios móveis. Um termo médio móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Deixe (wt overset N (0, sigma2w)), o que significa que o w t é idêntico, distribuído independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) O modelo de média móvel da ordem q , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele flip os signos algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (desactuados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se os sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra de ACF com autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice para este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo de MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (com o excesso de N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por um gráfico deste ACF segue. O enredo que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra geralmente não fornece um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito dessa trama. A amostra ACF para os dados simulados segue. Vemos um pico no intervalo 1 seguido de valores geralmente não significativos para atrasos após 1. Observe que o ACF de amostra não corresponde ao padrão teórico da MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações por atrasos após 1 serão 0 . Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria os mesmos recursos amplos. Propriedades terapêuticas de uma série de tempo com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores não nulos no ACF teórico são para atrasos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos superiores são 0 . Assim, uma amostra ACF com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas as autocorrelações não significativas para atrasos superiores indicam um possível modelo de MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são de 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não-zero são A Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados da amostra não se comportam tão perfeitamente quanto a teoria. Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). A série de séries temporais dos dados segue. Tal como acontece com a série de séries temporais para os dados da amostra MA (1), você não pode contar muito com isso. A amostra ACF para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo de MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2 seguidos de valores não significativos para outros atrasos. Observe que, devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para General MA (q) Modelos Uma propriedade de modelos de MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros intervalos de q e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não singularidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) em MA (1) Modelo. No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E depois use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0.4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Nós restringimos os modelos de MA (1) para ter valores com valor absoluto inferior a 1. No exemplo que acabamos de dar, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 10.5 2 não irá. Invertibilidade de modelos de MA Um modelo de MA é considerado inversível se for algébricamente equivalente a um modelo de AR de ordem infinita convergente. Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0, enquanto nos movemos para trás no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em software de série temporal usado para estimar os coeficientes de modelos com termos MA. Não é algo que buscamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são apresentadas no apêndice. Nota de teoria avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo inversível. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes possuem valores tais que a equação 1- 1 y-. - q e q 0 possui soluções para y que se encontram fora do círculo da unidade. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. trama (Lag, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Nomeado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de parcela (o comando 3) representa atrasos em relação aos valores ACF para os atrasos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF, use simplesmente o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 acrescenta 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostra simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Simulated MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Variance: (texto (texto) (mu wt theta1 w) Texto de 0 texto (wt) (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 . A razão é que, por definição de independência do peso. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w t tem 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo de MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes de AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem, demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituímos a relação (2) para w t-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) No momento t-2. A equação (2) torna-se então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Se continuássemos ( Infinitamente), obteríamos o modelo de AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Note, no entanto, que se 1 1, os coeficientes que multiplicam os atrasos de z aumentarão (infinitamente) de tamanho à medida que avançarmos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo de MA reversível (1). Modelo de ordem infinita MA Na semana 3, veja que um modelo de AR (1) pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w) Este somatório de termos de ruído branco passados ​​é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos que retornam no tempo. Isso é chamado de uma ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recorde na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Este último passo usa um fato básico sobre séries geométricas que requerem (phi1lt1) caso contrário a série diverge. NavegaçãoIntrodução para ARIMA: modelos não-sazonais. Equação de previsão ARIMA (p, d, q): os modelos ARIMA são, em teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma série de tempo que pode ser feita para ser 8220stationary8221 por diferenciação (se necessário), talvez Em conjunto com transformações não-lineares, como registro ou desinflação (se necessário). Uma variável aleatória que é uma série temporal é estacionária se suas propriedades estatísticas são todas constantes ao longo do tempo. Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ela muda de forma consistente. Ou seja, seus padrões de tempo aleatório de curto prazo sempre parecem os mesmos em um sentido estatístico. A última condição significa que suas autocorrelações (correlações com seus próprios desvios anteriores da média) permanecem constantes ao longo do tempo, ou de forma equivalente, que seu espectro de potência permanece constante ao longo do tempo. Uma variável aleatória deste formulário pode ser vista (como de costume) como uma combinação de sinal e ruído, e o sinal (se um é aparente) pode ser um padrão de reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou alternância rápida no signo , E também poderia ter um componente sazonal. Um modelo ARIMA pode ser visto como um 8220filter8221 que tenta separar o sinal do ruído, e o sinal é então extrapolado para o futuro para obter previsões. A equação de previsão de ARIMA para uma série de tempo estacionária é uma equação linear (isto é, regressão) em que os preditores consistem em atrasos da variável dependente ou atrasos dos erros de previsão. Isto é: valor previsto de Y uma constante ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes de Y e uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores atrasados ​​de Y. é um modelo autoregressivo puro (8220 self-regressed8221), que é apenas um caso especial de um modelo de regressão e que pode ser equipado com o software de regressão padrão. Por exemplo, um modelo autoregressivo de primeira ordem (8220AR (1) 8221) para Y é um modelo de regressão simples no qual a variável independente é apenas Y rezagada em um período (LAG (Y, 1) em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt). Se alguns dos preditores são atrasos dos erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não existe nenhuma maneira de especificar o erro 8222 do último período8217s como uma variável independente: os erros devem ser computados numa base de período a período Quando o modelo é ajustado aos dados. Do ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros atrasados ​​como preditores é que as previsões do modelo8217s não são funções lineares dos coeficientes. Mesmo que sejam funções lineares dos dados passados. Assim, os coeficientes nos modelos ARIMA que incluem erros atrasados ​​devem ser estimados por métodos de otimização não-linear (8220hill-climbing8221) em vez de apenas resolver um sistema de equações. O acrônimo ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags da série estacionada na equação de previsão são chamados quota de termos degressivos, os atrasos dos erros de previsão são chamados de termos de média de quotmoving, e uma série de tempo que precisa ser diferenciada para ser estacionada é dito ser uma versão quotintegratedquot de uma série estacionária. Modelos aleatórios e de tendência aleatória, modelos autoregressivos e modelos de suavização exponencial são todos os casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA não-sazonal é classificado como quotARIMA (p, d, q) quot model, onde: p é o número de termos autorregressivos, d é o número de diferenças não-sazonais necessárias para a estacionaridade e q é o número de erros de previsão atrasados ​​em A equação de predição. A equação de previsão é construída da seguinte forma. Primeiro, digamos a d ª diferença de Y. o que significa: Observe que a segunda diferença de Y (o caso d2) não é a diferença de 2 períodos atrás. Em vez disso, é a primeira diferença da primeira diferença. Que é o análogo discreto de uma segunda derivada, isto é, a aceleração local da série em vez da sua tendência local. Em termos de y. A equação geral de previsão é: Aqui, os parâmetros de média móvel (9528217s) são definidos de modo que seus sinais são negativos na equação, seguindo a convenção introduzida pela Box e Jenkins. Alguns autores e software (incluindo a linguagem de programação R) os definem de modo que eles tenham sinais de mais. Quando os números reais estão conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual a convenção que seu software usa quando você está lendo a saída. Muitas vezes, os parâmetros são indicados por AR (1), AR (2), 8230 e MA (1), MA (2), 8230 etc. Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y. você começa por determinar a ordem de diferenciação (D) a necessidade de estacionar a série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformação estabilizadora de variância, como registro ou desinflação. Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você ajustou apenas uma caminhada aleatória ou modelo de tendência aleatória. No entanto, a série estacionada ainda pode ter erros autocorrelacionados, sugerindo que alguns números de AR (p 8805 1) e outros termos do número MA (q 8805 1) também são necessários na equação de previsão. O processo de determinação dos valores de p, d e q que são melhores para uma determinada série temporal será discutido em seções posteriores das notas (cujos links estão no topo desta página), mas uma prévia de alguns tipos Dos modelos ARIMA não-sazonais que são comumente encontrados são dados abaixo. Modelo autoregressivo de primeira ordem ARIMA (1,0,0): se a série estiver estacionada e autocorrelada, talvez possa ser predita como um múltiplo de seu próprio valor anterior, além de uma constante. A equação de previsão neste caso é 8230, que é regredida por si mesma atrasada por um período. Este é um modelo 8220ARIMA (1,0,0) constante8221. Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se o coeficiente de inclinação 981 1 for positivo e menor que 1 em magnitude (deve ser inferior a 1 em magnitude se Y estiver estacionário), o modelo descreve o comportamento de reversão média em que o valor do período 8217 seguinte deve ser previsto 981 1 vez como Muito longe da média, já que este valor do período 8217s. Se 981 1 é negativo, ele prevê comportamento de reversão média com alternância de sinais, ou seja, ele também prevê que Y estará abaixo do período médio seguinte se estiver acima da média deste período. Em um modelo autoregressivo de segunda ordem (ARIMA (2,0,0)), haveria um termo Y t-2 também à direita e assim por diante. Dependendo dos sinais e das magnitudes dos coeficientes, um modelo ARIMA (2,0,0) pode descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidalmente oscilante, como o movimento de uma massa em uma mola sujeita a choques aleatórios . ARIMA (0,1,0) caminhada aleatória: se a série Y não é estacionária, o modelo mais simples possível para isso é um modelo de caminhada aleatória, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR (1) no qual o autorregressivo O coeficiente é igual a 1, ou seja, uma série com reversão média infinitamente lenta. A equação de predição para este modelo pode ser escrita como: onde o termo constante é a mudança média de período para período (ou seja, a derivação de longo prazo) em Y. Esse modelo poderia ser ajustado como um modelo de regressão sem intercepção em que o A primeira diferença de Y é a variável dependente. Uma vez que inclui (apenas) uma diferença não-sazonal e um termo constante, esta é classificada como um modelo quotARIMA (0,1,0) com constante. O modelo aleatório-sem-atrasado seria um ARIMA (0,1, 0) modelo sem constante ARIMA (1,1,0) modelo autoregressivo de primeira ordem diferenciado: se os erros de um modelo de caminhada aleatória forem autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um atraso da variável dependente à equação de predição - - é Ao regredir a primeira diferença de Y em si mesma atrasada por um período. Isso produziria a seguinte equação de predição: que pode ser rearranjada para Este é um modelo autoregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciação não-sazonal e um termo constante - ou seja. Um modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sem alisamento exponencial constante e simples: outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples. Lembre-se de que, para algumas séries temporais não estacionárias (por exemplo, as que exibem flutuações ruidosas em torno de uma média variando lentamente), o modelo de caminhada aleatória não funciona, bem como uma média móvel de valores passados. Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação, é melhor usar uma média das últimas observações para filtrar o ruído e estimar com maior precisão a média local. O modelo de suavização exponencial simples usa uma média móvel ponderada exponencialmente de valores passados ​​para alcançar esse efeito. A equação de predição para o modelo de suavização exponencial simples pode ser escrita em várias formas matematicamente equivalentes. Um dos quais é o chamado formulário 8220error correction8221, em que a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ele fez: porque e t-1 Y t-1 - 374 t-1 por definição, isso pode ser reescrito como : Que é uma equação de previsão ARIMA (0,1,1) sem constante com 952 1 1 - 945. Isso significa que você pode ajustar um alisamento exponencial simples especificando-o como um modelo ARIMA (0,1,1) sem Constante e o coeficiente estimado MA (1) corresponde a 1-menos-alfa na fórmula SES. Lembre-se que, no modelo SES, a idade média dos dados nas previsões de 1 período anterior é de 1 945. O que significa que tenderão a atrasar tendências ou pontos de viragem em cerca de 1 945 períodos. Segue-se que a idade média dos dados nas previsões de 1 período de um ARIMA (0,1,1) - sem modelo constante é 1 (1 - 952 1). Assim, por exemplo, se 952 1 0,8, a idade média é 5. Como 952 1 aborda 1, o ARIMA (0,1,1) - sem modelo constante torna-se uma média móvel de muito longo prazo, e como 952 1 Aproxima-se de 0, torna-se um modelo de caminhada aleatória sem drift. What8217s é a melhor maneira de corrigir a autocorrelação: adicionar termos AR ou adicionar termos MA. Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema dos erros auto-correlacionados em um modelo de caminhada aleatória foi consertado de duas maneiras diferentes: adicionando um valor atrasado da série diferenciada Para a equação ou adicionando um valor atrasado do erro de previsão. Qual abordagem é melhor Uma regra de ouro para esta situação, que será discutida com mais detalhes mais adiante, é que a autocorrelação positiva geralmente é melhor tratada adicionando um termo AR ao modelo e a autocorrelação negativa geralmente é melhor tratada adicionando um Termo MA. Nas séries temporais econômicas e econômicas, a autocorrelação negativa surge frequentemente como um artefato da diferenciação. (Em geral, a diferenciação reduz a autocorrelação positiva e pode até causar uma mudança de autocorrelação positiva para negativa). Assim, o modelo ARIMA (0,1,1), em que a diferenciação é acompanhada por um termo MA, é mais freqüentemente usado do que um Modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) com alisamento exponencial constante e constante: ao implementar o modelo SES como modelo ARIMA, você realmente ganha alguma flexibilidade. Em primeiro lugar, o coeficiente estimado de MA (1) pode ser negativo. Isso corresponde a um fator de alisamento maior que 1 em um modelo SES, que normalmente não é permitido pelo procedimento de montagem do modelo SES. Em segundo lugar, você tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA, se desejar, para estimar uma tendência média não-zero. O modelo ARIMA (0,1,1) com constante tem a equação de previsão: as previsões de um período anteriores deste modelo são qualitativamente similares às do modelo SES, exceto que a trajetória das previsões de longo prazo é tipicamente uma Linha inclinada (cuja inclinação é igual a mu) em vez de uma linha horizontal. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sem alisamento exponencial linear constante: modelos de alisamento exponencial linear são modelos ARIMA que utilizam duas diferenças não-sazonais em conjunto com os termos MA. A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma atrasada por dois períodos, mas é a primeira diferença da primeira diferença - isto é. A mudança de mudança de Y no período t. Assim, a segunda diferença de Y no período t é igual a (Y t-Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Uma segunda diferença de uma função discreta é análoga a uma segunda derivada de uma função contínua: mede a quotaccelerationquot ou quotcurvaturequot na função em um determinado ponto no tempo. O modelo ARIMA (0,2,2) sem constante prediz que a segunda diferença da série é igual a uma função linear dos dois últimos erros de previsão: o que pode ser rearranjado como: onde 952 1 e 952 2 são o MA (1) e MA (2) coeficientes. Este é um modelo de suavização exponencial linear geral. Essencialmente o mesmo que o modelo Holt8217s, e o modelo Brown8217s é um caso especial. Ele usa médias móveis exponencialmente ponderadas para estimar um nível local e uma tendência local na série. As previsões de longo prazo deste modelo convergem para uma linha reta cuja inclinação depende da tendência média observada no final da série. ARIMA (1,1,2) sem alisamento exponencial linear constante de tendência amortecida. Este modelo está ilustrado nos slides que acompanham os modelos ARIMA. Ele extrapola a tendência local no final da série, mas acha-se em horizontes de previsão mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma prática que tem suporte empírico. Veja o artigo em quotPor que a Tendência Damped funciona por Gardner e McKenzie e o artigo do quotGolden Rulequot de Armstrong et al. para detalhes. Em geral, é aconselhável manter os modelos em que pelo menos um de p e q não é maior do que 1, ou seja, não tente se ajustar a um modelo como o ARIMA (2,1,2), pois isso provavelmente levará a uma superposição E quotcommon-factorquot questões que são discutidas em mais detalhes nas notas sobre a estrutura matemática dos modelos ARIMA. Implementação da planilha: os modelos ARIMA, como os descritos acima, são fáceis de implementar em uma planilha eletrônica. A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados ​​de séries temporais originais e valores passados ​​dos erros. Assim, você pode configurar uma planilha de previsão ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão na coluna B e os erros (dados menos previsões) na coluna C. A fórmula de previsão em uma célula típica na coluna B seria simplesmente Uma expressão linear que se refere a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicadas pelos coeficientes apropriados de AR ou MA armazenados em células em outra parte da planilha.8.4 Modelos médios em movimento Em vez de usar valores passados ​​da variável de previsão em uma regressão, um movimento O modelo médio usa erros de previsão passados ​​em um modelo de regressão. Y c e theta e theta e dots theta e, onde et é ruído branco. Nós nos referimos a isso como um modelo de MA (q). Claro, não observamos os valores de et, portanto, não é realmente regressão no sentido usual. Observe que cada valor de yt pode ser pensado como uma média móvel ponderada dos últimos erros de previsão. No entanto, os modelos de média móvel não devem ser confundidos com o alisamento médio móvel que discutimos no Capítulo 6. Um modelo de média móvel é usado para prever valores futuros, ao passo que o alavanca média móvel é usada para estimar o ciclo de tendência dos valores passados. Figura 8.6: Dois exemplos de dados de modelos em média móveis com diferentes parâmetros. Esquerda: MA (1) com y t 20e t 0.8e t-1. Direito: MA (2) com t e t - e t-1 0.8e t-2. Em ambos os casos, e t é normalmente distribuído ruído branco com zero médio e variância um. A Figura 8.6 mostra alguns dados de um modelo MA (1) e um modelo MA (2). Alterando os parâmetros theta1, dots, thetaq resulta em diferentes padrões de séries temporais. Tal como acontece com os modelos autorregressivos, a variância do termo de erro e só alterará a escala da série, e não os padrões. É possível escrever qualquer modelo AR (p) estacionário como modelo MA (infty). Por exemplo, usando a substituição repetida, podemos demonstrar isso para um modelo AR (1): begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et phi13y phi12e phi1e phi1e e amptext end Provided -1 lt phi1 lt 1, o valor de phi1k ficará menor quando k for maior. Então, eventualmente, obtemos et et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, um processo MA (infty). O resultado inverso é válido se impomos algumas restrições nos parâmetros MA. Então, o modelo MA é chamado de inversível. Ou seja, podemos escrever qualquer processo de MA (q) inversível como um processo AR (infty). Os modelos invertidos não são simplesmente para nos permitir converter de modelos MA para modelos AR. Eles também têm algumas propriedades matemáticas que os tornam mais fáceis de usar na prática. As restrições de invertibilidade são semelhantes às restrições de estacionaria. Para um modelo MA (1): -1lttheta1lt1. Para um modelo MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Condições mais complicadas mantêm-se para qge3. Novamente, R irá cuidar dessas restrições ao estimar os modelos.